Avatar 7 - El arte de Escher y la geometría hiperbólica

Una interesante aplicación de la geometría hiperbólica en el arte, puede ser vista y explicada en algunas obras del famoso Maurits Cornellis Escher. En particular, encontré un interesante trabajo realizado por Madhu Gupta publicado en la IEEE. En este trabajo se analiza un grabado en madera denominado Círculo límite IV, o también conocido como el Cielo e Infierno.

En el grabado se observan ángeles y demonios que forman un teselado que cubre toda la superficie. Las figuras se van reduciendo de tamaño del centro hacia afuera radialmente, de tal modo que su tamaño disminuye, hasta perderse en los límites del grabado.

Para realizar este tipo de teselado es necesaria una transformación matemática que logre realizar desplazamientos de la figura base, manteniendo algunas características invariantes, que permitan reconocer cierta similitud entre las figuras transformadas y la figura original. Además, la transformación debe hacer posible que una red infinita quepa en un lienzo finito y, por lo tanto, se debe esperar que los desplazamientos y tamaños de la figura base no sean constantes y, por el contrario, que el tamaño de la figura base tienda a cero en los límites.

Un tipo de transformaciones en el espacio de números complejos que cumplen estos requisitos son las llamadas transformaciones de Möbius:

$T(Z)=W=\frac{aZ+b}{cZ+d}$

donde a, b, c, d son constantes complejas tal que

$ad-bc \neq 0$ y $T(\infty)\equiv \frac{a}{c}$ y $T(-\frac{d}{c})\equiv \infty$

Entre las propiedades interesantes de esta transformación se pueden destacar tres. La primera es que la transformación mantiene la forma de círculos y rectas; también conserva el ángulo en signo y valor después de realizada la transformación. Estas características satisfacen el requerimiento de que la transformación mantenga reconocible la figura base después de cada transformación. La otra característica importante consiste en que con la selección adecuada de una métrica, la transformación de Möbius mantiene invariable la distancia entre dos puntos $Z_1$ y $Z_2$ y la correspondiente distancia de sus imágenes $T(Z_1)$ y $T(Z_2)$. Esta propiedad sin duda se verá reflejada en el escalamiento de las distancias y los tamaños. La métrica que satisfaga esta condición deberá ser invariable a transformaciones de Möbius, siendo una alternativa la razón cruzada o cualquier función monotónica dependiente de esta razón:

$\frac{(T_1-T_3)(T_2-T_2)}{(T_1-T_4)(T_2-T_3)}=\frac{(Z_1-Z_3)(Z_2-Z_4)}{(Z_1-Z_4)(Z_2-Z_3)}$

donde $T_1, T_2, T_3$ y $T_4$ son las transformaciones de $Z_1, Z_2, Z_3$ y $Z_4$ respectivamente.

Al introducir una métrica, básicamente se está hablando del uso de una nueva geometría que cumpla con las restricciones establecidas. Es posible demostrar que utilizando uno de los modelos de la geometría no euclidiana hiperbólica, particularmente el modelo del disco abierto de Poincaré, la distancia hiperbólica entre dos puntos está dada por:

$d(F_1, F_2)=ln \frac{d_E(F_1, Q) d_E(F_2, P)}{d_E(F_2, Q) d_E(F_1, P)}$

donde $d_E$ es la distancia euclidiana y además Q y P son los puntos donde la recta hiperbólica intersecta el círculo unitario de Poincaré.

En resumen, podemos decir que el grabado de Escher puede ser explicado matemáticamente como una invarianza a las transformaciones de Möbius en el dominio de los números complejos, al ser medidos con una métrica de distancia hiperbólica, inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincaré. Las figuras de la obra de Escher, a pesar de diferir en su tamaño, de hecho son congruentes bajo la métrica hiperbólica, siendo así, desde este punto de vista tan sólo un mosaico periódico con piezas de tamaño constante y periodicidad uniforme en el espacio hiperbólico.